Trung tâm Gia Sư Nhân Tài
  • Trang Chủ
  • PHỤ HUYNH – HỌC SINH
    • ĐĂNG KÝ TÌM GIA SƯ
    • GIỚI THIỆU VỀ TTGS
    • GIA SƯ HIỆN CÓ
    • HỌC PHÍ THAM KHẢO
  • LỚP HIỆN CÓ
  • THƯ VIỆN BÀI GIẢNG
    • TOÁN HỌC
      • TOÁN HỌC 12
      • TOÁN HỌC 11
      • TOÁN HỌC 10
      • TOÁN HỌC 9
      • TOÁN HỌC 6 – 7 – 8
      • TOÁN ĐẠI HỌC
    • VẬT LÝ
      • VẬT LÝ 12
      • VẬT LÝ 11
      • VẬT LÝ 10
      • VẬT LÝ THCS
      • VẬT LÝ ĐẠI HỌC
    • HÓA HỌC
      • HÓA HỌC 12
      • HÓA HỌC 11
      • HÓA HỌC 10
      • HÓA HỌC THCS
      • HÓA HỌC ĐẠI HỌC
    • TIẾNG ANH
      • TIẾNG ANH 12
      • TIẾNG ANH 11
      • TIẾNG ANH 10
      • TIẾNG ANH THCS
      • TIẾNG ANH TOIEC – TOEFL – IELTS
    • Văn – Sử – Địa – Sinh – GDCD
      • Ngữ Văn
      • Lịch Sử
      • Địa Lý
      • Sinh học
      • Giáo Dục Công Dân
    • Bài Giảng Tiểu Học
      • Tiếng Việt
      • Toán Học
  • GIA SƯ
    • ĐĂNG KÝ LÀM GIA SƯ
    • GIA SƯ THEO MÔN
    • GIA SƯ THEO LỚP
    • GIA SƯ THEO QUẬN
  • LIÊN HỆ
Trung tâm Gia Sư Nhân Tài
  • Trang Chủ
  • PHỤ HUYNH – HỌC SINH
    • ĐĂNG KÝ TÌM GIA SƯ
    • GIỚI THIỆU VỀ TTGS
    • GIA SƯ HIỆN CÓ
    • HỌC PHÍ THAM KHẢO
  • LỚP HIỆN CÓ
  • THƯ VIỆN BÀI GIẢNG
    • TOÁN HỌC
      • TOÁN HỌC 12
      • TOÁN HỌC 11
      • TOÁN HỌC 10
      • TOÁN HỌC 9
      • TOÁN HỌC 6 – 7 – 8
      • TOÁN ĐẠI HỌC
    • VẬT LÝ
      • VẬT LÝ 12
      • VẬT LÝ 11
      • VẬT LÝ 10
      • VẬT LÝ THCS
      • VẬT LÝ ĐẠI HỌC
    • HÓA HỌC
      • HÓA HỌC 12
      • HÓA HỌC 11
      • HÓA HỌC 10
      • HÓA HỌC THCS
      • HÓA HỌC ĐẠI HỌC
    • TIẾNG ANH
      • TIẾNG ANH 12
      • TIẾNG ANH 11
      • TIẾNG ANH 10
      • TIẾNG ANH THCS
      • TIẾNG ANH TOIEC – TOEFL – IELTS
    • Văn – Sử – Địa – Sinh – GDCD
      • Ngữ Văn
      • Lịch Sử
      • Địa Lý
      • Sinh học
      • Giáo Dục Công Dân
    • Bài Giảng Tiểu Học
      • Tiếng Việt
      • Toán Học
  • GIA SƯ
    • ĐĂNG KÝ LÀM GIA SƯ
    • GIA SƯ THEO MÔN
    • GIA SƯ THEO LỚP
    • GIA SƯ THEO QUẬN
  • LIÊN HỆ

Phương pháp giải BT Giới hạn Vô Định – Dạng vô cùng trừ vô cùng

bởi giasunhantai 30 Tháng Năm, 2020
viết bởi giasunhantai 30 Tháng Năm, 2020

Trung tâm Gia sư Nhân Tài xin giới thiệu chuyên đề bài giảng về phương pháp giải bài tập Giới hạn Vô định – Dạng  \( \infty -\infty \). Kính mời các thầy cô và các em học sinh gân xa cùng đọc!

Phụ huynh – Học sinh có nhu cầu cần tìm gia sư dạy kèm toán lớp 11, vui lòng liên hệ: 094.625.1920 – Thầy Nhân (Zalo).


Giới hạn của hàm số – Các dạng giới hạn vô định: (Dạng  \( \infty -\infty \))

Dạng tổng quát của dạng này là:

 \( \underset{\begin{smallmatrix} x\to \infty  \\ \left( x\to {{x}_{O}} \right)\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-g(x) \right] \) trong đó  \( \underset{\begin{smallmatrix}x\to \infty  \\\left( x\to {{x}_{O}} \right)\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{\begin{smallmatrix} x\to \infty  \\ \left( x\to {{x}_{O}} \right)\end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty \)

Phương pháp: biến đổi chúng về dạng vô định \( \frac{0}{0} \),  \( \frac{\infty }{\infty }  \)bằng cách biến đổi, nhân liên hợp, thêm bớt, ….

Hằng đẳng thức

Liên hợp với a – b

Liên hợp với a + b

\( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right) \)

\( {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}\right)\)

\( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right) \)

a + b

a – b

 \( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \)

\( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \)

A liên hợp với B thì B liên hợp với A

Ví dụ 1. Tính \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right)\ \)

Phân tích: \( \sqrt{{{\left( +\infty  \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( +\infty  \right)}^{2}}}=\infty -\infty \) ( Dạng  \( \infty -\infty \))

Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right) \), ta có liên hợp:

 \( \sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{\left( \sqrt{A}-\sqrt{B} \right)\left( \sqrt{A}+\sqrt{B} \right)}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} \)

Giải chi tiết:

 \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right) \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}+4x+1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+1-{{x}^{2}}-4x-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1}} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5x}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5x}{x\left( \sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-5}{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{-5}{\sqrt{1-0+0}+\sqrt{1+0+0}}=-\frac{5}{2} \\ \)

Vậy  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}+4x+1} \right)=-\frac{5}{2} \)

Ví dụ 2.  Tính \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-1-\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right)\)

Phân tích:  \( 2\left( +\infty  \right)-\sqrt{4{{\left( +\infty  \right)}^{2}}}=\infty -\infty  \) (Dạng  \( \infty -\infty \))

Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right) \), ta có:

Liên hợp  \( A-\sqrt{B}=\frac{\left( A-\sqrt{B} \right)\left( A+\sqrt{B} \right)}{A+\sqrt{B}}=\frac{{{A}^{2}}-B}{A+\sqrt{B}} \)

Giải chi tiết:

\( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-1-\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right) \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2x-1-\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right)\left( 2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right)}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right)}^{2}}}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}-\left( 4{{x}^{2}}-4x-3 \right)}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}-4x+1-4{{x}^{2}}+4x+3}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4}{2x-1+\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3}} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x.\frac{4}{x}}{x\left( 2-\frac{1}{x}+\sqrt{4-\frac{4}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}} \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{4}{x}}{2-\frac{1}{x}+\sqrt{4-\frac{4}{x}-\frac{3}{{{x}^{2}}}}} \\=\frac{0}{2-0+\sqrt{4-0-0}}=0 \\ \)

Vậy  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-1-\sqrt{4{{x}^{2}}-4x-3} \right)=0\)

Ví dụ 3.  Tính \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right)\)

Phân tích: nếu nhân phân phối  \( x\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x\sqrt{{{x}^{2}}-2}=\left( +\infty  \right)\sqrt{{{\left( +\infty  \right)}^{2}}}-\left( +\infty  \right)\sqrt{{{\left( +\infty  \right)}^{2}}}=\infty -\infty \)  (Dạng  \( \infty -\infty \))

Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left( a-b \right)\left( a+b \right) \), ta có liên hợp:

 \( \sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{\left( \sqrt{A}-\sqrt{B} \right)\left( \sqrt{A}+\sqrt{B} \right)}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} \)

Giải chi tiết:

\( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right) \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\frac{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)-\left( {{x}^{2}}-2 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\frac{{{x}^{2}}+1-{{x}^{2}}+2}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\frac{3}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-2}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3x}{x\left( \sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}} \right)} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{2}{x}}}=\frac{3}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0}}=\frac{3}{2} \\ \)

Vậy  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-2} \right)=\frac{3}{2} \)

Ví dụ 4.  Tính \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x}-x \right) \)

Hướng dẫn:  tương tự nhân và chia biểu thức liên hợp tương ứng là: \( \sqrt{{{x}^{2}}+x}+x \), ta được:

 \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x}-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x}-x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x}+x \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}+x \right)-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x} \)

Vì  \( x\to +\infty  \)nên chia cả tử và mẫu cho x ta được:

  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x\left( \sqrt{1+\frac{1}{x}}+1 \right)} \\ =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2} \)

Vậy:  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+x}-x \right)=\frac{1}{2} \)

Ví dụ 5.  Tính \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right] \)

Hướng dẫn giải: Nhân và chia cho biểu thức liên hợp  \( \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x} \)

Giải chi tiết:

 \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right)\left( \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x} \right)}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+\sqrt{x} \right)-x}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1 \right)} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2} \)

Vậy  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x} \right]=\frac{1}{2} \)

Ví dụ 6.  Tính \( \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right] \)

Trong ví dụ này cần lưu ý khi  \( x\to \infty  \)cần xét hai trường hợp  \( x\to +\infty  \)và \( x\to -\infty \).

+ Khi  \( x\to +\infty  \) thì:

 \( \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}x\to +\infty \Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x\to +\infty \)

Do đó,  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right]=+\infty \)

+ Khi  \( x\to -\infty  \)thì:

\( \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}x\to +\infty \Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x=\infty -\infty \\\)

\( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right]=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}-x \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+3}-x} \\=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{2}}-x+3 \right)-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+3}-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+3}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+3}-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( -1+\frac{3}{x} \right)}{\left| x \right|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}}-x} \\=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( -1+\frac{3}{x} \right)}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}}-x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( -1+\frac{3}{x} \right)}{x\left( -\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}}-1 \right)} \\=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1+\frac{3}{x}}{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}}-1}=\frac{-1+0}{-\sqrt{1-0+0}-1}=\frac{1}{2} \)

Chú ý:  \( \sqrt{{{x}^{2}}}=\left| x \right| \) mà  \( x\to -\infty \Rightarrow \left| x \right|=-x \)

Vậy  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right]=+\ \)infty và  \( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt{{{x}^{2}}-x+3}+x \right]=\frac{1}{2} \)

Ví dụ 7. Tính \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right)\)

Phân tích: \( \sqrt[3]{{{\left( +\infty  \right)}^{3}}}-\sqrt[3]{{{\left( +\infty  \right)}^{3}}}=\infty -\infty \)

Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \( {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right) \),  ta có liên hợp:

\( \sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B}=\frac{\left( \sqrt[3]{A}-\sqrt[3]{B} \right)\left[ {{\left( \sqrt[3]{A} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}+{{\left( \sqrt[3]{B} \right)}^{2}} \right]}{{{\left( \sqrt[3]{A} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}+{{\left( \sqrt[3]{B} \right)}^{2}}}=\frac{A-B}{{{\left( \sqrt[3]{A} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}+{{\left( \sqrt[3]{B} \right)}^{2}}} \)

Giải chi tiết:

\( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right) \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right)\left[ {{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right)}^{2}} \right]}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right)}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( {{x}^{3}}+5{{x}^{2}} \right)-\left( {{x}^{3}}+8x \right)}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right)}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-{{x}^{3}}-8x}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right)}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{x}^{2}}-8x}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}.\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x}+{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right)}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( 5-\frac{8}{x} \right)}{{{x}^{2}}\left[ {{\left( \sqrt[3]{1+\frac{5}{x}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{5}{x}}.\sqrt[3]{1+\frac{8}{x}}+{{\left( \sqrt[3]{1+\frac{8}{x}} \right)}^{2}} \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5-\frac{8}{x}}{{{\left( \sqrt[3]{1+\frac{5}{x}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{5}{x}}.\sqrt[3]{1+\frac{8}{x}}+{{\left( \sqrt[3]{1+\frac{8}{x}} \right)}^{2}}} \\=\frac{5-0}{{{\left( \sqrt[3]{1+0} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+0}.\sqrt[3]{1+0}+{{\left( \sqrt[3]{1+0} \right)}^{2}}}=\frac{5}{3} \)

Vậy  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}}-\sqrt[3]{{{x}^{3}}+8x} \right)=\frac{5}{3}\)

Ví dụ 8. Tính \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x+\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right) \)

Phân tích:  \( \left( +\infty  \right)+\sqrt[3]{-{{\left( +\infty  \right)}^{3}}}=\infty -\infty  \)

Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right) \),  ta có liên hợp:

\( A+\sqrt[3]{B}=\frac{\left( A+\sqrt[3]{B} \right)\left[ {{\left( A \right)}^{2}}-A.\sqrt[3]{B}+{{\left( \sqrt[3]{B} \right)}^{2}} \right]}{{{\left( A \right)}^{2}}-A.\sqrt[3]{B}+{{\left( \sqrt[3]{B} \right)}^{2}}}=\frac{{{A}^{3}}+B}{{{\left( A \right)}^{2}}-A.\sqrt[3]{B}+{{\left( \sqrt[3]{B} \right)}^{2}}} \)

Giải chi tiết:

 \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x+\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right) \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)\left[ {{x}^{2}}-x.\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}+{{\left( \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)}^{2}} \right]}{{{x}^{2}}-x.\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}+{{\left( \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+\left( 3{{x}^{2}}-{{x}^{3}} \right)}{{{x}^{2}}-x.\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}+{{\left( \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-x.\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}+{{\left( \sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}\left[ 1-\sqrt[3]{\frac{3}{x}-1}+{{\left( \sqrt[3]{\frac{3}{x}-1} \right)}^{2}} \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{1-\sqrt[3]{\frac{3}{x}-1}+{{\left( \sqrt[3]{\frac{3}{x}-1} \right)}^{2}}}=\frac{3}{1-\sqrt[3]{0-1}+{{\left( \sqrt[3]{0-1} \right)}^{2}}}=1 \)

Vậy  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x+\sqrt[3]{3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)=1 \)

Ví dụ 9. Tính \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right) \)

Phân tích: Nếu nhân phân phối vào thì  \( {{x}^{2}}.\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right)={{x}^{2}}\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-{{x}^{3}}={{\left( +\infty  \right)}^{2}}\sqrt[3]{{{\left( +\infty  \right)}^{3}}}-{{\left( +\infty  \right)}^{3}}=\infty -\infty \)

Phương pháp giải: Dựa vào hằng đẳng thức \( {{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right) \),  ta có liên hợp:

 \( \sqrt[3]{A}-B=\frac{\left( \sqrt[3]{A}-B \right)\left[ {{\left( \sqrt[3]{A} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{A}.B+{{\left( B \right)}^{2}} \right]}{{{\left( \sqrt[3]{A} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{A}.B+{{\left( B \right)}^{2}}}=\frac{A-{{B}^{3}}}{{{\left( \sqrt[3]{A} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{A}.B+{{\left( B \right)}^{2}}} \)

Giải chi tiết:

\( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right) \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\frac{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right)\left[ {{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}.x+{{x}^{2}} \right]}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}.x+{{x}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\frac{\left( {{x}^{3}}+1 \right)-{{x}^{3}}}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}.x+{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\frac{1}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}.x+{{x}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}\left[ {{\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}}+1 \right]}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{\left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{{{x}^{3}}}}+1} \\ =\frac{1}{{{\left( \sqrt[3]{1+0} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+0}+1}=\frac{1}{3}\)

Vậy  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}.\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+1}-x \right)=\frac{1}{3} \)

Ví dụ 10. Tính \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x} \right]\)

Hướng dẫn:

Vì hàm số cần tìm giới hạn chứa các căn thức không cùng bậc nên ta thêm bớt để có thể nhân liên hợp

Giải chi tiết:

\( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x} \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-x \right)-\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}}-x \right) \right] \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-x \right]-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x}-x \right)={{L}_{1}}-{{L}_{2}} \\ +)\text{ }{{L}_{1}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-x \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-x \right)\left[ {{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}.x+{{x}^{2}} \right]}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}.x+{{x}^{2}}} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}{{{\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}.x+{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}\left[ {{\left( \sqrt[3]{1+\frac{3}{x}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+1 \right]} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{{{\left( \sqrt[3]{1+\frac{3}{x}} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}+1}=\frac{3}{{{\left( \sqrt[3]{1+0} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{1+0}+1}=1 \\+)\text{ }{{L}_{2}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x}-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x}-x \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x}+x \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+x} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x}{x\left( \sqrt{1-\frac{2}{x}}+1 \right)} \\=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2}{\sqrt{1-\frac{2}{x}}+1}=\frac{-2}{\sqrt{1-0}+1}=-1 \)

Vậy  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}}-\sqrt{{{x}^{2}}-2x} \right]={{L}_{1}}-{{L}_{2}}=1+1=2 \)

Bài tập luyện tập:

1. \( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+\sqrt{4{{x}^{2}}+3x-2} \right)  \)  (Đs: \( -\frac{3}{4} \))

 2. \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{9{{x}^{2}}-3x-1}-3x \right)  \)  (Đs: \( \frac{1}{2} \))

3.  \( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x\sqrt{3}+\sqrt{3{{x}^{2}}+4x-1} \right)  \)   (Đs: \( \frac{-2}{\sqrt{3}} \))

4.  \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-x+1 \right)  \)  (Đs: 0)

5. \( \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x}-\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right)  \)  (Đs: \( -\frac{1}{6} \))

 6. \( \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{{{x}^{3}}+2x-1}+\sqrt{{{x}^{2}}-3} \right)  \) (Đs: 0)

Giới hạn
0 Bình luận
2
FacebookTwitterEmail
Bài viết trước
Gia sư dạy kèm môn Sinh
Bài viết tiếp theo
Phương pháp giải BT Kim loại tác dụng với axit HCl, H2SO4 loãng (Axit loại 1)

Bài viết liên quan

Sự rơi tự do

18 Tháng Sáu, 2022

Cho hàm số y = f(x) có đạo...

15 Tháng Sáu, 2020

Cho 4,56 gam hỗn hợp gồm FeO, Fe2O3,...

13 Tháng Sáu, 2020

Khử hoàn toàn 6,64 gam hỗn hợp gồm...

13 Tháng Sáu, 2020

Hòa tan hoàn toàn hỗn hợp gồm 0,1...

13 Tháng Sáu, 2020

Hoà tan 10 gam hỗn hợp bột Fe...

11 Tháng Sáu, 2020

Toán 12

8 Tháng Sáu, 2020

Phương pháp giải BT Kim loại tác dụng...

31 Tháng Năm, 2020

Bình luận - Ý kiến Cancel Reply

Lưu tên và email cho lần comment tiếp theo

Tìm kiếm

Fanpage Trung Tâm Gia Sư Nhân Tài

Trung Tâm Gia Sư Nhân Tài

Mạng Xã Hội

Facebook Twitter Youtube Email

Chuyên mục

  • Chưa được phân loại (1)
  • Gia Sư Dạy Kèm (24)
    • Gia Sư Dạy Kèm Theo Lớp (12)
    • Gia Sư Dạy Kèm Theo Môn (7)
    • Gia Sư Dạy Kèm Theo Quận (5)
  • Thư Viện Bài Giảng (9)
    • Hóa Học (5)
      • Hóa Học 12 (5)
    • Toán Học (3)
      • Toán Hoc 11 (1)
      • Toán Học 12 (2)
    • Vật Lý (1)
      • Vật Lý 10 (1)

Chuyên đề

Giới hạn (1) Sắt - Crom - Cu (3) Tích phân và ứng dụng (1) Đại cương kim loại (1)
  • Facebook
  • Twitter
  • Youtube
  • Email

@2020 - Designed by Trung Tâm Gia Sư Nhân Tài


Back To Top